Точки разрыва функции

Чтобы построить график функции  (и не только для этого) нужно определить разрывы функции и выяснить их характер. Прежде всего, дадим определение непрерывной функции и точек разрыва.

Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , то есть для всех , где некоторое число. Тогда функция называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и равен .

Точки в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва.

Характеристика точек разрыва следующая. Если предел функции в точке существует, но по какой то причине не равен значению функции в точке (например, в точке функция не определена), то называется точкой устранимого разрыва.

Если предел функции в точке слева конечный, и не равен пределу функции в точке справа (тоже конечному), то точка называется точкой разрыва -го рода.

Все остальные точки разрыва являются точками разрыва -го рода.

Пример 1 Исследовать функцию на непрерывность .

Функция является рациональной, то есть элементарной, с областью определения . Согласно теореме о непрерывности элементарной функции на области своего определения мы видим, что функция непрерывна для всех . В точке функция не определена и поэтому разрывна. Найдем предел функции в этой точке. . Таким образом, предел в точке есть, а функция в этой точке не определена. Имеем устранимый разрыв.

Пример 2 Найти точки разрыва функции и определить их характер: .

Функция определена во всех точках действительной оси кроме точек . 

Следовательно, в этих точках функция имеет разрывы. Найдем Характер разрывов.

В точке имеем . Это замечательный предел. Таким образом, точка является точкой устранимого разрыва. Все остальные точки , являются точками разрыва второго рода, так как односторонние пределы в этих точках равны .

Пример 3 Найти точки разрыва функции и определить их характер: .

Функция определена всюду, кроме точек . Так как функция четная, то характер разрыва в точках одинаковый. Мы можем исследовать функцию только в точке . Находим односторонние пределы в этой точке.

,

.

Таким образом, точки являются точками разрыва первого рода.