Что такое ранг матрицы и как его вычислить — формула, расчет, вычисление, решение
Минор матрицы
Понятия ранга и минора матрицы взаимосвязаны, поэтому для начала выясним, что такое минор матрицы.
Определение
Минором k-ого порядка матрицы называется определитель квадратной матрицы порядка k×k, состоящий из элементов матрицы A, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах. При этом с сохранением положения элементов матрицы A.
Опираясь на определение, можно сделать вывод о том, элементы матрицы A являются минорами первого порядка.
Можно привести примеры миноров второго порядка. Для этого нужно выбрать две строки и два столбца, например, первая, вторая строка и третий, четвертый столбец. В этом случае минором второго порядка будет:
Другим минором второго порядка матрицы A является:
Минор третьего порядка получится, если вычеркнуть третий столбец матрицы A:
Чтобы вычислить, сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы A порядка p×n, необходимо воспользоваться следующей формулой:
Пример
Ckp x Cnk
Где
Ранг матрицы
Определение
Рангом матрицы является наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.
Заметка
Ранг матрицы обозначается следующим образом: Rank (A), Rg (A), Rang (A).
Определение
Ранг системы строк (столбцов) — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой системы.
Нахождение ранга матрицы по определению
Определение
Метод перебора миноров — это метод, основанный на определении ранга матрицы.
Чтобы вычислить ранг матрицы A порядка p×n по определению, важно соблюдать следующий алгоритм действий:
-
Определить, есть ли минор первого порядка. То есть проверить матрицу на наличие хотя бы одного элемента, отличного от нуля, чтобы ранг матрицы был равен как минимум единице.
-
Перебрать миноры второго порядка. Если все миноры этого порядка равны нулю, то Rang (A) = 1.
-
Если есть хотя бы один отличный от нуля минор второго порядка, то можно переходить к перебору миноров третьего порядка. Ранг матрицы в таком случае будет равен минимум двум.
Метод Гаусса или метод окаймляющих миноров
По методу Гаусса применяются элементарные преобразования, которые не изменяют ранг матрицы:
- транспонирование
- перестановка местами строк и столбцов
- добавление строки или столбца к другой строке или столбцу умноженного на ненулевое число
С помощью метода Гаусса нужно привести матрицу к ступенчатому виду и посчитать количество строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент.
Пример
Дана матрица:
Чтобы облегчить процесс дальнейших расчетов, первую строку поменяем местами со второй:
Подставим вместо элемента a3,1 ноль, а из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 3/2:
Подставим вместо элемента a4,1 ноль и вычтем из четвертой строки первую, умноженную на 2:
Подставим вместо элемента a3,2 ноль, а из третьей строки вычтем вторую строку, умноженную на -1/4. Этот показатель мы получили, разделив элемент a3,2 = -0,5 на элемент a2,2 = 2:
Подставим вместо элемента a4,1 ноль, а из четвертой строки вычтем вторую строку, умноженную на -1/2:
Подставим вместо элемента a4,3 ноль, а из четвертой строки вычтем третью строку, умноженную на 2:
Получается, что в данной матрице одна строка содержит нулевые элементы, а три строки — ненулевые. Поэтому ранг матрицы равен 3.
Ответ: Rang = 3.
Примеры вычисления ранга матрицы
Пример №1
Вычислите ранг матрицы F.
Решение:
Rang (F) ≤ 3, так как матрица имеет размер 3х3.
Среди миноров первого порядка есть один, не равный 0, поэтому Rang (F) ≥ 1.
Для проверки миноров второго порядка, необходимо рассмотреть пересечения первой и второй строки с первым и вторым столбцом. Таким образом, мы получим:
Соответственно, делаем вывод, что среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный 0, поэтому Rang (F) ≥ 2.
Минором третьего порядка является определитель матрицы F, так как он состоит из трех строк и трех столбцов:
Ответ: Rang (F) = 2.
Пример №2
Вычислите ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.
Решение:
Алгоритм:
В первом действии (1) ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на -2, а к третьей строке прибавили первую строку, умноженную на -3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на -1.
Вторым действием (2) удалили третью и четвертую строки, так как последние три строки пропорциональны, а вторую переместили на первое место.
В третьем действии ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на -3.
Ответ: Rang = 2.
.png)
