Формула центростремительного ускорения в физике

Движением по окружности называется явление, которое часто встречается и в природе, и в жизни человека. Спутники Земли, детали механизмов, колеса машин, шестеренки часов — все движется по траектории окружности.

Голландский физик Христиан Гюйгенс впервые сформулировал основы теории о центростремительном ускорении. Ученый изложил их в труде «Маятниковые часы», дополнив теорию инженерными расчетами для создания хронометров. Помимо этого, Х. Гюйгенс обнаружил зависимость периодичности колебаний маятника от длины подвеса и описал явление изохронности. Все это повлияло как на развитие прикладной механики, так и на учения о движении небесных тел И. Ньютона.

Фото: НейроПлод

Ускорение точки, движущейся по окружности

Определение 

Центростремительное ускорение — это явление, направленное от центра вращения и возникающее во время движения объекта по окружности. Оно возникает из-за изменения направления движения объекта по изогнутой траектории. Чем больше радиус кривизны траектории и скорость движения объекта, тем больше центростремительное ускорение.

Физический смысл данного явления состоит в следующем: если объект движется по окружности со скоростью постоянной величины, то есть тангенциальное ускорение равно нулю, то общее ускорение не равно нулю из-за постоянного изменения направления вектора скорости.

Определение

Тангенциальное ускорение является элементом ускорения, направленным к траектории движения по касательной. Оно вычисляется по формуле:

Формула

Наиболее распространенным случаем криволинейного равномерного движения является движение по окружности. В этом движении скорость точки остается константой, а траектория представляет собой окружность.

Если рассмотреть вектор перемещения точки по окружности за время 𝛥t, то относительное изменение вектора скорости будет равно отношению вектора перемещения к радиусу поворота:

Разделив это соотношение на 𝛥t, получим:

Из чего следует:

Подставив эти отношения в формулу выше, получим формулу для вычисления центростремительного ускорения:

Формула

Где a — центростремительное ускорение, v² — квадрат скорости движения, R — радиус кривизны траектории.

В силу того, что скорость и радиус движения по окружности остаются неизменными, модуль ускорения также остается постоянным. Однако направление ускорения постоянно меняется, всегда указывая на центр окружности, по которой движется точка. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным.

Часто в условиях задач известна угловая скорость. Она вычисляется по формуле:

Формула

Если подставить это соотношение в предыдущее, то центростремительное ускорение будет вычисляться через угловую скорость по формуле:

Формула

Примеры задач

Пример №1

Вычислите центростремительное ускорение объекта, движущегося со скоростью 10 м/с по кругу радиусом 5 м.

Дано:

v = 10 м/с.

r = 5 м.

a — ?

Решение:

a = v²/r

a = (10)²/(5)

a = 100/5

a = 20 м/с²

Пример №2

Объект массой 5 кг движется со скоростью 8 м/с по кругу, радиусом 2 м. Определите центростремительную силу, действующую на объект.

Дано:

v = 8 м /с.

r = 2 м.

a — ?

F — ?

Решение:

a = v²/r

a = (8)²/(2)

a = 64/2

a = 32 м/с²

Сила, действующая на объект, определяется по формуле:

F = m*a

F = 5*32

F = 160 Н